Las Cónicas

Aproximadamente en el año 370 a.C. una fiera epidemia de Peste minaba la población griega, los gobernantes ordenaron a sus sacerdotes acudir a la isla de Delfos a preguntar al oráculo que debían hacer para acabar con la mortal enfermedad, "la respuesta recibida" fue... doblar el volumen de la base en la que se encontraba el dios Apolo —con forma de cubo—, construyeron una base cúbica del doble de longitud en cada arista (lado), con lo cual aumentaron en 8 veces el volumen y no en 2 como se había indicado... por supuesto la población continuó muriendo... hasta mucho tiempo después la epidemia cedió poco a poco. 

Dos medias geométricas entre sólidos

Más allá de la connotación religiosa, Platón propuso que se olvidaran de todas las interpretaciones mágicas del oráculo y se concentraran en resolver el problema de doblar el cubo.



Las Secciones Cónicas fueron descubiertas por el filósofo griego Menecmo, en el año 350 a.C. Menecmo describió las secciones cónicas como la intersección de cada uno de los tres tipos de cono con un plano que forma un ángulo recto con un lado del cono.

Menecmo, alumno de Platón, hizo un descubrimiento al demostrar que las curvas generadas a partir de conos tienen el poder de producir dos medias entre dos extremos.

Como lo ilustran los diagramas, la parábola tiene la característica de ser una media entre dos extremos, mientras que la hipérbola abarca dos

La parábola (figura del lado izquierdo) la forma el ángulo móvil ABC, tal que el vértice B se mueve sobre la línea OB en tanto C se mueve sobre la línea OC. Esto forma el rectángulo cambiante OBPC. El punto P describe una parábola. Mediante triángulos semejantes, OA:OB::OB:OC o OC=OB²

La hipérbola (figura del lado derecho) la forma la esquina B del rectángulo OABC. En tanto los lados del rectángulo cambian, el área permanece constante. Esto mantiene la proporción 1:OA::OA:OAxAB

Menecmo demostró que la intersección de una hipérbola y una parábola produce el resultado de situar dos medias entre dos extremos

La intersección de una hipérbola y una parábola determina las magnitudes que doblan el cubo. La parábola la forman OA=1 y el ángulo recto ABD. La hipérbola la forman OC² del rectángulo OBCD, que tiene un área de 2. En la parábola, OA:OB::OB:OD, o 1:OB::OB:OC². En la hipérbola, OBxBC=2. De la combinación de las dos anteriores se desprende la proporción, 1:OB::OB:BC::BC:2. En otras palabras, la línea OB formará la arista de un cubo de volumen 2 y BC formará la arista de un cubo de volumen 4.

Apolonio de Perga (262 a.C. - 190 a.C.) resumió el conocimiento anterior a él, y lo amplió, en sus 8 tomos titulados “Secciones cónicas”. En lugar de emplear planos en ángulo recto a los tres tipos distintos de conos, empleó uno solo con los planos de intersección formando varios ángulos.

Fué él quien bautizó a las cónicas con sus nombres, aunque no las representó mediante ecuaciones, se pueden relacionar con la ecuación:

En esa ecuación, las cónicas corresponden a valores de “a” que son… 1) positivos, hipérbola (exceso), 2) negativos, elipse (defecto) y 3) cero, parábola (aplicación).

Posteriormente, Pappus demostró la propiedad foco-directriz de las secciones cónicas en el año 320 d.C. con ello se contó con un concepto unificador con el que no se necesitaba referencia alguna a la geometría de los cuerpos sólidos.

Durante varios siglos, las secciones cónicas se quedaron en el olvido pero renació el interés en ellas cuando Kepler demostró que las órbitas de los planetas son elípticas.

El siguiente avance significativo lo hizo Johannes Kepler, quien estableció la ciencia física moderna como una extensión de estos antiguos descubrimientos griegos, tal como Nicolás de Cusa, Luca Pacioli y Leonardo da Vinci los re-descubrieron. Kepler, citando a Cusa, a quien llamó "divino", dio una particular importancia a la diferencia entre la curva (geométrica) y la recta (aritmética). Kepler escribió en su Mystérium Cosmográphicum:

"Pero, después de todo, ¿por qué las distinciones entre la curva y la recta, y la nobleza de una curva, en la intención de Dios cuando creó el Universo? ¿Precisamente por qué? Salvo que para el Creador más perfecto fuera absolutamente necesario crear la más bella obra".

Como parte de su investigación astronómica, Kepler dominó Las Cónicas de Apolonio, que es una compilación de los descubrimientos griegos sobre estas curvas superiores. Como resultado de su investigación sobre la refracción de la luz, Kepler aportó un concepto nuevo y revolucionario de las secciones cónicas. Por primera vez, Kepler consideró a las secciones cónicas como una multiplicidad proyectiva.

"Entre estas líneas existe el siguiente en razón de sus propiedades: pasa de la línea recta, a través de una infinidad de hipérbolas, a una parábola, y de ahí, a través de una infinidad de elipses, al círculo. Así, por un lado la parábola tiene dos cosas en naturaleza infinitas, la hipérbola y la línea recta, la elipse y el círculo. Aunque también es infinito, asume una limitación en el otro lado. . . Por tanto, los límites opuestos son el círculo y la línea recta: el primero es curvatura pura, la última recta pura. La hipérbola, la parábola y la elipse están en medio, y participan de la recta y de la curva, lo mismo la parábola, y la hipérbola participa más de la recta, y la elipse más de la curva"

Mientras el foco se mueve a la izquierda, el círculo se transforma en una elipse. En el límite con el infinito, la elipse se convierte en una parábola. La hipérbola se forma "del otro lado" del infinito. La discontinuidad que revela esta proyección entre la parábola y la hipérbola es importante. La hipérbola está al otro lado del infinito, por así decirlo, de la elipse y el círculo, mientras que un lado de la parábola va hacia el infinito y el otro hacia el finito.