Circunferencia De Los 9 Puntos

Circunferencia De Los 9 Puntos – Circunferencia De Feuerbach – Circunferencia De Euler.

Sabemos que por 2 puntos cualesquiera del plano pasa una única recta, y también sabemos que por 3 puntos que no estén alineados pasa una única circunferencia.

Euler

El gran matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783) demostró que la circunferencia que pasa por los pies de las alturas de un triángulo es la misma circunferencia que pasa por los puntos medios de los lados de ese triángulo. Esto fue conocido por Euler en 1765, pero redescubierto por Feuerbach en 1822.

Feuerbach 

Generalmente, se adjudica a Karl Wilhelm Feuerbach el descubrimiento de la circunferencia de los nueve puntos; sin embargo, al igual que Euler lo que Feuerbach descubrió fue la circunferencia de los seis puntos, reconociendo que sobre ella se encuentran los puntos medios de los lados de un triángulo (en la figura, los puntos D, E, F) y los pies de las alturas del triángulo (en la figura, los puntos G, H, I ).

Anteriormente En 1820 los matemáticos franceses, Charles Julien Brianchon (1783-1864) y Jean-Victor Poncelet (1788-1867) habían demostrado su existencia. Poco tiempo después de Feuerbach, Olry Terquem también demostró la existencia del círculo y reconoció además que los puntos medios de los segmentos determinados por los vértices del triángulo (A, B, C) y el ortocentro (M), también están contenidos en la circunferencia (en la figura, los puntos J, K, L).

Poncelet

A la Circunferencia de los Nueve Puntos se le conoce también entre otros como la Circunferencia De Feuerbach, Circunferencia de Euler, Circunferencia de los seis puntos o Circunferencia Medioinscrita

Su nombre proviene del hecho que la circunferencia pasa por Nueve Puntos Notables, seis de ellos sobre el mismo triángulo (excepto que el triángulo sea obtuso). Estos son:

- Los puntos medios de cada lado del triángulo, D, E, F

- Los pies de las alturas, G, H, I

- Los puntos medios de los segmentos determinados por el ortocentro (M) y los vértices del triángulo A, B, y C, es decir, los puntos J, K, L

Observación:

- El segmento que une el Ortocentro (M) del triángulo con uno de sus vértices (A, B o C) Se llama Segmento de Euler. (AM, BM, CM)

- El punto medio de un segmento de Euler, se llama Punto de Euler (J, K, L).

- El triángulo que se forma con los 3 puntos de Euler (JKL), se llama Triángulo de Euler

- El Ortocentro (M) es el punto de intersección de las alturas del triángulo ABC

- El triángulo formado con los 3 pies de las alturas (GHI), se llama Triángulo Ortico.